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《圆的性质》小结与复习

       在我们的周围有许多圆的实例，如踢球时踢球点与球门宽边的张角，考察零件圆槽是否成半圆等等，都离不开园的基本性质，以下对圆的性质作一总结：

一.  知识要点：

⒈画圆的要素：

⑴圆心与半径  ⑵不在同一直线上的三个点；

⒉圆的对称性：

⑴旋转对称（中心对称性）

 ⑵轴对称性；

1.       

⒊概念辨析：

 ⑴优弧、劣弧与半圆  ⑵弦与直径  ⑶圆心角与圆周角

   ⑷同心圆与等圆  ⑸ 等弦与等弧   ⑹弧长相等与等弧

⑺同弦所对的圆周角与同弦所对的圆周角

⒋直线形与圆：

⑴三角形与圆（图1）

DABC内接于⊙O

⊙O外接于DABC

⑵四边形与圆（图2）

四边形ABCD内接于⊙O

⊙O外接于四边形ABCD          图1        图2

⒌点与圆的位置关系：

d表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，那么就有：

①d<rP在圆内；②d=rP在圆上；③d>rP在圆外

⒍在解决与圆有关的问题中应注意：

①求圆中弦（或弦心距）的长，常作圆心到弦的垂线段这一辅助线，这样就可出现与半径相关的直角三角形，利用垂径定理来求.
    ②求与平行弦有关的题目往往过圆心作一条弦的垂线在延长相交，这样避免说明三点共线的问题.
    ③线段的和常用的辅助线是延长或截取.

 

⒎思想方法：数形结合思想（用数量关系描述位置）、分类讨论思想（点与圆的位置关系）,方程思想（求线段和角度）.

一、知识应用

1.运用数学思想解题

解决与圆有关的问题，在没有附图的情况下，有时需要进行分类讨论.

【例1】点P与⊙O的最近距离为4㎝，最远距离为10㎝，求⊙O的半径.

      图3              图4

 解：过OP作直线交圆于A,B

分两种情况讨论：

（1）点P在圆内时（图3）：PA=4㎝,PB=10㎝, AB= PA+PB= =4+10=14㎝,R=7㎝

（2）点P在圆外时（图4）：PA=4㎝,PB=10㎝,AB= PB－PA= =10－4=6㎝, R=3㎝

 因此，⊙O的半径是3㎝或7㎝.

2.综合运用知识

解决圆的问题往往需要通过三角形、四边形知识来帮助，以提高综合运用知识的能力.

【例2】已知BC为⊙O的直径，AB=AF,AC交BF于点M，过A点作AD⊥BC于D，交BF于E；

（1）求证：O到AB的距离是AC的一半；                                            

（2）AE与BE的大小有什么关系？为什么？

  

解：（1）过O作OWAB于W，∴AW=WB;

∵BC是⊙O的直径，

∴BO=OC,

∴OM是△ABC的中位线，∴OW=0.5AC,

即O到AB的距离是AC的一半；

（2）结论：AE=BE；

∵AB=AF，∴∠AFB=∠ABF,

    又∵∠AFB=∠ACB, BC为⊙O的直径, AD⊥BC,

∴∠ACB=∠BAD,

∴∠AFB=∠BAD,

∴AE=BE.

   圆的性质是今后学习直线与圆的位置、圆与圆的位置关系的基础，所以希望同学们能够熟练掌握与应用.