益祥遨游不等式迷宫     

浙江宁海县星海中学  王才苗

   说起机灵鬼王益祥探索数学迷宫的事，竹林村民无人不知，随人不晓？特别对不等式迷宫,他更是情有独钟，遨游不疲，返程时还采得累累硕果，令同龄人肃然起敬.

一、        知识硕果

益祥有个好习惯，他常把采撷的知识果实，制成葡萄串，方便提携和检索.

1.若a＞b，则a±c＞ b±c     2.若a＞b，﹙c＞0﹚，则ac＞ac        3.若a＞b，﹙c＜0 ﹚，则ac＜ac

性质

解一元一次不等式（组）

一元一次不等式

不等式

在各个领域中的应用

解集在数轴上表示

二、        警醒路标

通向迷宫的道路险处环生，为了让后来的探索者少走弯路和险路，益祥他设立了多处警醒路标.

【路标1】比较代数式大小需分类讨论

例1   如果a>b,那么比较ac²与bc²的大小

错解：根据不等式性质2， c²是正数，所以ac²>bc²;

剖析：因为c是实数，所以c²≥0.

正解：当C=0， ac²=bc²；当C0， ac²>bc².即ac²≥bc².

【路标2】两边除以负数不等号方向需改变

例2：解不等式3－6x≥8－x

错解：－5x≥5，x≥-1

剖析：不等式的两边除以负数时，不等号改变方向.

正解：－5x≥5，x≤-1.

【路标3】解一元一次不等式的各个环节需谨慎

例3 解不等式：1-2x≥5－   并把所得解集在数轴上表示.

错解：1-2x≥5－ ，得：，，，在数轴上表示如下：

剖析：这里有多处错误：（1）去分母时“5”这一项漏乘了2;(2)去分母时，分子上的多项式没用括号括起来,(3)两边除以-1，不等号方向没有改变.(4)在数轴上表示不等式解集时，解集含有等号应画实心圆点，而错解却画了空心圆圈.

正解：，，

【路标4】有关概念的理解要仔细

　例4:  求不等式的非负整数解.
　　错解:  去分母，化简整理得-x＞-6. ∴ x＜6.
　　      ∴不等式的非负整数解为x=1, 2, 3, 4, 5.
　　剖析：本题解不等式的过程没有错，错在最后一步，由解集确定非负整数时，因对非负整数概念不清，漏掉了非负整数0.
　　正解：不等式的非负整数解为x=0，1，2，3，4，5.
　【路标5】不等式组解集不要忽视等号
　例5 （吉林）一辆公共汽车上有（5a－4)名乘客，到某一车站有（9－2a）名乘客下车，车上原来有多少名乘客？
　　错解：由题意得５a-4≥1,9-2a≥1. 解得1≤a≤4.
　　取整数a=1，2，3，4，把a值分别代入5a-4，得1，6，11，16.
　　所以车上原来有1人、6人、11人或16人.
　　剖析：错解的主要问题是，列不等式组时忽视了5a－4≥9－2a这一条件，另外公共汽车空载行驶或到站无人下车，也是可能出现的情形，也应考虑在内.
　　正解：由题意得５a－4≥9－2a,5a－4≥0,9－2a≥0.解得13/7≤a≤9/2.
　　a取整数得a=2，3，4，把a值分别代入5a－4得6，11，16.
　　答：车上原来有6人、11人或16人.

三、焦点关注

累积知识硕果，把握思维航向，终于到了小试牛刀的时刻，益祥开始关注，08年各地中考对一元一次不等式到底考些什么内容.

【考点1】解一元一次不等式

例1 （2008上海市）不等式2-3x>0的解集是            ．

（ 2008金华市）解不等式:5x- 3 < 1- 3x

  分析：（1）这里特别注意两边都除以-3时，根据不等式的基本性质3，不等号方向要改变；（2）注意移项要变号，根据不等式性质2，不等号方向不变.

解：（ 1 ）应填;（2）8x < 4，x<

【评注】本题主要考查解一元一次不等式，解决本题需要熟练掌握不等式的基本性质.

【考点2】解一元一次不等式组

例2  （08云南）】不等式组的解集为（　　）

A．x＞2                B．x＜3     

C．x＞2或 x＜－3       D．2＜x＜3

分析：分别解各不等式，然后在数轴上表示，找出公共部分.

解：由（1）得x＞2，由（2）得x＜3，所以2＜x＜3.

【评注】这里要注意不要写成x＞2或x＜3.

【考点3】一元一次不等式（组）的应用

例3己知2005年底全市汽车拥有量为72983辆．（2008义乌）义乌市是一个“车轮上的城市”，截止2007年底全市汽车拥有量为114508辆．为保护城市环境，要求到2009年底汽车拥有量不超过158000辆，据估计从2007年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的4％，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同，结果精确到个位）

分析：当年汽车数量为上年拥有量=上年拥有量×（1－4%）+新增汽车数量.

解：设每年新增汽车为辆，根据题意得：

解得 

∴每年新增汽车最多不超过辆

【评注】本题涉及环保问题，随着人们生活水平的提高，汽车数量剧增，这直接带来占用有限空间和废气排放污染等负面影响.

   例4（08宜宾）某学校准备添置一些“中国结”挂在教室。若到商店去批量购买，每个“中国结”需要10元；若组织一些同学自己制作，每个“中国结”的成本是4元，无论制作多少，另外还需共付场地租金200元。亲爱的同学，请你帮该学校出个主意，用哪种方式添置“中国结”的费用较节省？

分析：本题先用代数式表示两种方式所需要的经费，然后通过列不等式求出所购买“中国结”数量的范围，再进行决策.

解：设需要中国结x个，则直接购买需10x元，自制需（4x+200）元

分两种情况：

（1）若10x<4x+200,得,即少于33个时，到商店购买更便宜；

（2）若10x>4x+200,得即少于33个时,自已制作更便宜.

【评注】本题是一道利用不等式来帮助解决的决策问题，在一些决策方案的研究中常用这种方法.

四、操练演习

1. a、b是有理数，比较a－b与a的大小.

2. 解不等式：－＜2

3.（海淀区）不等式组 的解集是（    ）

    A、           B、

 C、         D、 或

4.