二次根式中的转化思想

浙江宁海星海中学  王才苗

二次根式 有下面主要特性：

1.      ≥0，a≥0；

2.      ，

3. ，当   , 当 .

许多二次根式的问题都可以通过以上特性，转化为其它相关知识来解决.

一、转化为不等式（组）

【例1】 满足什么条件时， 有意义.

解：根据题意得：

 解（1）得：x≥5, （2）得：x≥ ,不等式组的解为x≥5.

  因此当x≥5时， 有意义

点评：要使 有意义，只要a≥0即可，这里要求整个代数式有意义就必须同时使几个根式有意义，从而需列不等式组解决.请思考：                   .

二、转化为方程组

【例2】已知： 满足 ，求 的值.

解：根据题意得：

   解得：x=2,   y=6,   所以5x－8y= －38.

点评：由于非负数的和等于零，则每个非负数必取零. 因此本题通过列方程组，解出其中字母的值，然后代入代数式求得结果.请思考：已知 ，求 的值.

三、转化成为平方形式

【例3】在实系数范围内因式分解：x2－5.

解：x2－5= =（x+ ）（x－ ）

点评：本题实际上把公式 逆过来使用，即 .请思考：化简： .

四、转化为不带根号形式                                              

【例4】已知实数 在数轴上对应的点如下图所示，则 的值等于（     ）

A、 　　　　B、－1　　　　　C、1　　　　　D、－

解：从数轴上可以观察到：-1<a<0,得a+1>0,

a<0, ; a+1>0 , ,

－ =－ －（ ）=－2 －1.

点评：其实本题渗透了数形结合的思想，从数轴上观察到 的取值范围，再根据根式性质化简得到.请思考：若 ，则 =_   _．

五、转化为乘法公式形式

【例5】已知 ，则 的值为_______________

  解：应填14；∵

∴ =16－2=14.

点评：本题借助于完全平方公式进行化简，这是一个常用的办法，值得关注.请思考：（常德中考题）若 的值是多少？