有趣的涂色问题

涂色问题是排列组合知识应用的典型题型，也是高考及各类竟赛的热点问题。解决此类问题往往需要学生有较强的分类思想及逻辑分析能力。下面我介绍两类常见的涂色问题：一类是首尾不相连的涂色问题，我称之为“直型”涂色问题，一类是首尾相连的涂色问题，我称之为“环型”涂色问题。

一．“直型”涂色问题

例1．（2003年河南省高考题）将三种作物种植在如图1所示的5块试验田里，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种植同一种作物。不同的种植方法共有      种（以数字作答）

解：（法一）分别以a、b、c代表3种作物，先按排第一、三、五这3块试验田。

 （1）若这3块田种植3种不同作物，如图1—1有种，其余2块都只有1种种植方法，共有=6种。

 （2）若这3块田种植2种不同作物，如图1—2有种，若第一块与第三块同或第三块与第五块同，其余2块有种种植方法，共有=24种，若第一块与第五块同，其余2块都只有1种种植方法，共有=6种。  以上共有24+6=30种。

（3）若这3块田只种植1种作物，如图1—3有种，其余2块有种（注：不是种），共=6种。  综上共有：6+30+6=42种。

（法二）如图1，第一块有3种选择，其它各块都只有2种选择，共3×2×2×2×2=48有种。它包含只种植2种作物的情况，有种。所以3种作物都种上的种植法为种。

二．“环型”涂色问题

例2．（2003年天津市高考题）某城市在中心广场建一个花圃，花圃分成6个部分。如图2所示，现要栽种4种不同颜色的花，每部分载种一种，且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有          种（用数字作答）

解：这个问题等价于图2—1的涂色问题，区域1需要1种颜色，即相当于把3种不同颜色涂在区域2、3、4、5、6这五个环形区域中。而这5个区域首尾相连，把它“展直”成例1所示的5个区域。所以例1中的图1—3

和图1—2中的                  

不符合要求，其它都符合。有6+24=30种。

例3．如图3，一个同心圆形花坛分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n (n3,nN)部分。现有红、黄、蓝三种颜色的花可供选择，要求相邻部分种植不同颜色的花。若圆环分成的n等份为时，有不同种植方法为种，试写出与满足的关系式，并求出的表达式。

解：把图3的环形展直为对有3种不同种法，对都有2种不同种法。但这样只能保证与不同色，但不能保证与不同色。于是一类是与不同色的种法，这是符合要求的种法，记作。另一类是与同色的种法，这时与看成一个整体，这样的种法相当于.即:.这就是与的关系式。下面推导的表达式：.而n3

是首项为：，公比为—1的等比数列，

又

=，即

把例3的结论推广可得命题：有m种不同颜色可供选择，涂在n个环形区域中，用表示不同的涂色方法，则有：.

作为该命题的应用，例4作为一个例子。

例4．（01年全国数学竟赛题）在一个正六边形的6个区域栽种观赏植物（如图4），要求同一块种同一种作物，相邻的两块种不同的植物。现有4种不同的植物可供选择，则共有多少种不同的栽种方案？

解：本题可象例1一样用分类讨论方法做，现用例3结论进行解决。把图4的环形展直为     由命题可得：

。而n3

∴是首项为，公比为－1等比数列而

，

即。

当n=6时，种.